第15章 15.16

(1)

$f$：原点のまわりの角$-\dfrac{\pi}{6}$の回転 $A=\begin{pmatrix}\cos(-\frac{\pi}{6}) & -\sin(-\frac{\pi}{6}) \\ \sin(-\frac{\pi}{6}) & \cos(-\frac{\pi}{6})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$

$g$：$x$軸に関する対称変換 $B=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$

$h$：原点のまわりの角$\dfrac{\pi}{6}$の回転 $C=\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{6} & -\sin\frac{\pi}{6}\\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$

(2)

$f\circ g\circ h = CBA=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

(3)

今、点$P(a,b)$を対称変換すると点$P'$に移るとすると

$P'=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt3}{2}b\\ \frac{\sqrt3}{2}a-\frac{1}{2}b\end{pmatrix}$ となる

点$PP'$を通る直線の傾きは $\dfrac{b-(\frac{\sqrt3}{2}a-\frac{1}{2}b)}{a-(\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt3}{2}b)}=\dfrac{-\sqrt3a+3b}{a-\sqrt3b}=\dfrac{-\sqrt3(a-\sqrt3b)}{a-\sqrt3b}=-\sqrt3$ となる

この直線と垂直に交わる直線の傾きは $\dfrac{-1}{-\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ となる

点$PP'$の中点は $\left(\dfrac{a+\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt3}{2}b}{2}, \dfrac{b+\frac{\sqrt3}{2}a-\frac{1}{2}b}{2}\right)=\left(\dfrac{3a+\sqrt3b}{4}, \dfrac{\sqrt3a+b}{4}\right)$

この点を通り傾きが$\sqrt{3}$となる直線は

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + n$

これに$(x, y) = \left(\dfrac{3a+\sqrt{3}b}{4}, \dfrac{\sqrt{3}a+b}{4}\right)$を代入すると$n = 0$となり

$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

となる