第15章 15.14

$\frac{\pi}{4}$回転させる一次変換は$\begin{pmatrix}\cos\dfrac{\pi}{4} & -\sin\dfrac{\pi}{4} \\ \sin\dfrac{\pi}{4} & \cos\dfrac{\pi}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$なので

直線上の点$(0,0)$、$(1,-2)$はそれぞれ

$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

に移動する

回転後の直線の方程式を$y=ax+b$とすると

$b=0 \qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}a \qquad a=-\frac{1}{3}$

となるので これから $y=-\dfrac{1}{3}x$ $x+3y=0$に変わる