第15章 15.13

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\text{とすると} \quad {}^{t}A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \quad \text{となり}$

${}^{t}AA = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix}$

これから

$a^2+c^2=1 \qquad b^2+d^2=1 \qquad ab+cd=0 \quad \text{を満たす}$

ここで $a=\cos\theta$ とおくと $c=\pm\sin\theta$ となり

$b\cos\theta \pm d\sin\theta = 0 \qquad b=\sin\theta 、\ d=\mp\cos\theta \text{となるので}$

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{又は} \quad \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{と書ける}$