第15章 15.12 | 高専の数学解説

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos45^\circ & -\sin45^\circ \\ \sin45^\circ & \cos45^\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

逆変換は $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ となるので $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ となるこれを与式に代入すると

\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)^2 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)^2 = a^2

\frac{1}{2}x'^2 + x'y' + \frac{1}{2}y'^2 - \frac{1}{2}x'^2 + x'y' - \frac{1}{2}y'^2 = a^2 \qquad 2x'y' = a^2

となり回転により双曲線となる