第15章 15.3

(1)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 1 = 5 \neq 0 \quad \text{これから逆変換を持つ}$

逆変換は $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ これより

$\begin{cases} x = \dfrac{2}{5}x' - \dfrac{1}{5}y' \\ y = \dfrac{1}{5}x' + \dfrac{2}{5}y' \end{cases}$

(2)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 3 = 7 \neq 0 \quad \text{これから逆変換を持つ}$

逆変換は $\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ これより

$\begin{cases} x = \dfrac{2}{7}x' + \dfrac{1}{7}y' \\ y = -\dfrac{3}{7}x' + \dfrac{2}{7}y' \end{cases}$

(3)

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 8 = 1 \neq 0 \quad \text{これから逆変換を持つ}$

逆変換は $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ これより

$\begin{cases} x = 3x' - 2y' \\ y = -4x' + 3y' \end{cases}$

(4)

$\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 15 - 15 = 0 \quad \text{これから逆変換を持たない}$