第14章 14.22

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x = x \\ \alpha x - \beta x = -x \end{cases} \quad \text{これから} \quad \alpha - \beta + 1 = 0$

(2)

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha + \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}$

$A^2 - 3A + 2E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \alpha + \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 3\alpha & 3\beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2\alpha + \alpha\beta & \beta^2 - 3\beta + 2 \end{pmatrix}$

$\beta^2 - 3\beta + 2 = 0 \quad \text{から} \quad (\beta - 2)(\beta - 1) = 0 \qquad \beta = 1, 2$

(3)

$\beta = 1$ のとき $\alpha = 0$ これから $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ よって $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\beta = 2$ のとき $\alpha = 1$ これから $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \quad \text{これから}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2^n - 1 & 2^n \end{pmatrix}$