第14章 14.21

(1)

$|A| = \alpha$ これから

$A^{-1} = \frac{1}{\alpha}\begin{pmatrix} 1 & \alpha - 1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$

(2)

$A^2 = \begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha(1-\alpha)+(1-\alpha) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 1-\alpha^2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^2 - (\alpha+1)A + \alpha E = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 1-\alpha^2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \alpha(\alpha+1) & (1+\alpha)(1-\alpha) \\ 0 & 1+\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} = 0$

(3)

$A^3 = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 1-\alpha^2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha & 1-\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^3 & \alpha^2(1-\alpha)+(1-\alpha^2) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^3 & 1-\alpha^3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

これから

$A^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & 1-\alpha^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$0 < \alpha < 1$より

$\lim_{n \to \infty}\begin{pmatrix} \alpha^n & 1-\alpha^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$