第14章 14.20

${}^t xAx = (x_1 \quad x_2)\begin{pmatrix} a+2b & 2-3b \\ -3+4c & a+3c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = ((a+2b)x_1+(2-3b)x_2 \quad (-3+4c)x_1+(a+3c)x_2)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$= \{(a+2b)x_1+(2-3b)x_2\}x_1 + \{(-3+4c)x_1+(a+3c)x_2\}x_2$

$= (a+2b)x_1^2 + (-1-3b+4c)x_1x_2 + (a+3c)x_2^2 = 0$

これから

$\begin{cases} a+2b=0 & ① \\ -1-3b+4c=0 & ② \\ a+3c=0 & ③ \end{cases}$

①、③を②に代入して

$-1-3(-\frac{1}{2}a)+4(-\frac{1}{3}a)=0 \qquad \therefore a=6$

これを①、③に代入して $\therefore b=-3$、$c=-2$