第14章 14.23

(1)

$(A-E)\left(A+\frac{1}{2}E\right)=\left\{\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\right\}\left\{\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\right\}$

$=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=0$

(2)

問題集 p.165 より

$x^n=(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)P_{(x)}+a_n x+b_n \quad P_{(x)}\text{は整式とすると}$

$x=1$のとき $1=a_n+b_n$

$x=-\dfrac{1}{2}$のとき $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{1}{2}a_n+b_n$

この２式から $1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{3}{2}a_n$ $a_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ $b_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$

(3)

問題集 p.166 より数学的帰納法を用いて求める

$n=2$のとき $A^2=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}E=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$

$A^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\quad\text{これより成り立つ}$

$A^n$のとき成り立つと仮定して $A^{n+1}$のときを考える

$A^{n+1}=A^nA=(a_nA+b_nE)A=a_nA^2+b_nA=a_n\left(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}E\right)+b_nA=\left(\frac{a_n}{2}+b_n\right)A+\frac{a_n}{2}E$

ここで $\dfrac{a_n}{2}+b_n = \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = a_{n+1}$ $\dfrac{a_n}{2} = \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = b_{n+1}$

これから

$A^n = a_n A + b_n E$ と表すことが出来る

(4)

$\lim_{n\to\infty} A_n = \left\{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}A + \left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}E = \frac{2}{3}A+\frac{1}{3}E = \frac{1}{3}(2A+E)$