第13章 13.46

(1)

$l$ の方向ベクトル：$(2,3,1)$ $m$ の方向ベクトル：$(2,1,5)$

両者に垂直な方向ベクトルを$(a,b,c)$とすると

$2a+3b+c=0 \quad ① \qquad 2a+b+5c=0 \quad ②$

①－②より $2b-4c=0$ $b=2c$ ③

①－②×３より $-4a-14c=0$ $a=-\dfrac{7}{2}c$ ④

また「単位方向ベクトル」という条件から $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$ となる必要がある

③、④を代入すると

$\sqrt{\left(-\frac{7}{2}c\right)^2+(2c)^2+c^2}=1 \qquad c\sqrt{\frac{49}{4}+4+1}=1 \qquad c=\pm\frac{2}{\sqrt{69}} \quad ⑤$

⑤を③、④に代入して $a=\mp\dfrac{7}{\sqrt{69}}$ $b=\pm\dfrac{4}{\sqrt{69}}$

これからこの直線の単位方向ベクトルは$\pm\dfrac{1}{\sqrt{69}}(-7,4,2)$

(2)

$m$と$l$のどちらにも平行な平面となるので、この平面の平行ベクトルと$(a,b,c)$とすると

$2a+3b+c=0 \qquad 2a+b+5c=0$

(1) から $a:b:c=-7:4:2$ なので これを方向ベクトルにする

また直線$m$は式から点$(-1,6,-9)$を含んでいることがわかる

この値を$(x_0,y_0,z_0)$として平面の式 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ に代入する

$-7(x+1)+4(y-6)+2(z+9)=0 \qquad -7x+4y+2z-13=0 \qquad 7x-4y-2z+13=0$

(3)

直線$l$と直線$m$との距離を測るために引く線(両者に直角でもっとも距離が短い線)は平面と垂直になる

平面は直線$m$を含むので、つまりは直線$l$と平面との距離をもとめればよい

このとき直線$l$が点$(3,2,1)$を含むことから$(x_0,y_0,z_0)=(3,2,1)$

平面の式より $a = 7, b = -4, c = -2, d = 13$ として

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|7 \cdot 3 - 4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 13|}{\sqrt{7^2 + (-4)^2 + (-2)^2}} = \frac{24}{\sqrt{69}} = \frac{8\sqrt{69}}{23}$