第13章 13.45

(1)

$\frac{x-3}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-2}{3} \qquad ①$

点 $A(3,4,5)$ を含みベクトル $(-1,2,3)$ に垂直な平面は

$-(x-3)+2(y-4)+3(z-5)=0 \qquad ②$

この平面と直線の交点が $B$ である

①を②に代入して

$-(x-3)+\{(-2x+4)-4\}+\{(-3x+11)-5\}=0 \qquad \therefore x=\frac{3}{2}$

同様に考えて $\therefore y=1$ $z=\frac{13}{2}$ よって $B(\dfrac{3}{2},1,\dfrac{13}{2})$

(2)

$B(\dfrac{3}{2},1,\dfrac{13}{2})$ から

$A$ と $B$ の距離は $(3-\dfrac{3}{2},4-1,5-\dfrac{13}{2}) = (\dfrac{3}{2},3,-\dfrac{3}{2})$

よって $C = (\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2},1-3,\dfrac{13}{2}-(-\dfrac{3}{2})) = (0,-2,8)$

(3)

点 $A$ を含みベクトル $(\alpha,\beta,\chi)$ に垂直な平面は $\alpha(x-3)+\beta(y-4)+\chi(z-5)=0 \qquad ③$

これは点 $C$ も含むので③に代入して $\alpha(0-3)+\beta(-2-4)+\chi(8-5) = -3\alpha-6\beta+3\chi=0$

$\alpha+2\beta-\chi=0$

またベクトル $(\alpha,\beta,\chi)$ とベクトル $(-1,2,3)$ は垂直なので $-\alpha+2\beta+3\chi=0$

これから $\alpha:\beta:\chi = \begin{vmatrix}2 & -1\\2 & 3\end{vmatrix} : \begin{vmatrix}-1 & 1\\3 & -1\end{vmatrix} : \begin{vmatrix}1 & 2\\-1 & 2\end{vmatrix} = 8:-2:4 = 4:-1:2$

これを③に代入して整理すると $4x-y+2z-18=0$