第13章 13.44

(1)

$x+2y+3z=6 \qquad ① \qquad (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$

これからこの平面に対して垂直なベクトル$\vec{n}$は $\vec{n}=(1,2,3)$となる

このベクトルと平行で原点を通る直線の方程式は $x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} \qquad ②$

②を①に代入して

$x+2(2x)+3(3x)=6 \qquad \therefore x=\frac{3}{7} \qquad \text{同様に} \qquad \therefore y=\frac{6}{7} \quad z=\frac{9}{7}$

これから、原点から平面に垂線を下ろすと点$(\dfrac{3}{7},\dfrac{6}{7},\dfrac{9}{7})$で交わる

よって原点と対称な点は$(\dfrac{6}{7},\dfrac{12}{7},\dfrac{18}{7})$となる

(2)

点$(4,3,1)$を通りベクトル$\vec{n}=(1,2,3)$に平行な直線は $x-4=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3} \qquad ③$

③を①に代入して

$x+2(2x-5)+3(3x-11)=6 \qquad \therefore x=\frac{7}{2} \qquad \text{同様に} \qquad \therefore y=2 \quad z=-\frac{1}{2}$

(3)

$(6,0,0)$、$(0,3,0)$、$(0,0,2)$で作られる三角形である。

$xy$平面において$(6,0,0)$、$(0,3,0)$の長さは $\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5$

点$(6,0,0)$、$(0,3,0)$を通る直線の方程式は$y=-\dfrac{1}{2}x+3$であり、原点との距離は $\frac{|0+2\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt5}$

直線$y=-\dfrac{1}{2}x+3$と点$(0,0,2)$の距離は $\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt5}\right)^2+2^2}=\sqrt{\frac{56}{5}}=\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt5}$

よって三角形の面積は $3\sqrt5\times\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt5}\times\frac{1}{2}=3\sqrt{14}$