高専の数学解説

第13章 13.43

(1)

平面 α\alpha に垂直な直線の方向ベクトルは (1,2,−2)(1,2,-2) となり、これが点 A(1,1,0)A(1,1,0) を通るので

x−1=y−12=−z2x-1=\dfrac{y-1}{2}=-\dfrac{z}{2}

(2)

平面 α\alpha に平行な平面

(x−x0)+2(y−y0)−2(z−z0)=0(x-x_0)+2(y-y_0)-2(z-z_0)=0

これが点 A(1,1,0)A(1,1,0) を通るので (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) へ代入して

(x−1)+2(y−1)−2(z−0)=0x+2y−2z−3=0(x-1)+2(y-1)-2(z-0)=0 \qquad x+2y-2z-3=0

(3)

(1)で求めた直線を媒介変数 t を用いて書き直すと

{x=t+1y=2t+1z=−2t\begin{cases} x=t+1 \\ y=2t+1 \\ z=-2t \end{cases}

これらを平面 α\alpha の式へ代入すると

(t+1)+2(2t+1)−2(−2t)+1=0t=−49(t+1)+2(2t+1)-2(-2t)+1=0 \qquad t=-\dfrac{4}{9}

これを先程の直線の式へ代入

{x=−49+1=59y=2⋅(−49)+1=19z=−2⋅(−49)=89これから直線と平面 α との交点の座標は (59,19,89)\begin{cases} x=-\dfrac{4}{9}+1=\dfrac{5}{9} \\ y=2\cdot\left(-\dfrac{4}{9}\right)+1=\dfrac{1}{9} \\ z=-2\cdot\left(-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{8}{9} \end{cases} \qquad \text{これから直線と平面 } \alpha \text{ との交点の座標は } \left(\dfrac{5}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{8}{9}\right)

そこでこの2点間の距離は

h=(1−59)2+(1−19)2+(0−89)2=(49)2+(89)2+(89)2=129=43h=\sqrt{\left(1-\dfrac{5}{9}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)^2+\left(0-\dfrac{8}{9}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{8}{9}\right)^2}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}

解説: r31bn1z