第13章 13.41

(1)

点 BC の中点を M とおくと

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

△ABC の重心 G は線分 AM を 2：1 に内分する点なので

$\overrightarrow{OG} = \frac{\vec{a} + 2\overrightarrow{OM}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2 \cdot \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})}{3} = \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

(2)

△ABC の面積は

$\frac{1}{2}\text{BC} \times \text{AM} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right| \times \left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{c}-\vec{b}\right| \times \left|\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\right|$

$= \frac{1}{2}\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2} \times \sqrt{(-1)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

△ABC に内接する円の中心は重心 G でありその半径は $\frac{1}{3}\text{AM}$ なので

$\left(\frac{1}{3}\left|\overrightarrow{AM}\right|\right)^2 \pi = \frac{1}{9}\pi\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right|^2 = \frac{1}{9}\pi\left(\sqrt{(-1)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right)^2 = \frac{1}{6}\pi$

(3)

四面体 OABC の体積 V は △AOC を底面として高さ OB と考えると

$V = \frac{1}{3} \times (\text{高さ}) \times (\text{底面積}) = \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

次に内接する球の体積を求める

内接する球の中心は四面体の内心であり、内心 r は

$r = \frac{\left|\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right|}{2(\text{四面全ての面積の和})} = \frac{1}{2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{1}{3+\sqrt{3}}$

これから内接する球の体積 V’ は

$V' = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{3+\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{6(9+5\sqrt{3})} = \frac{2}{9}\pi \cdot \frac{9-5\sqrt{3}}{81-75} = \frac{9-5\sqrt{3}}{27}\pi$

参考資料：四面体との類似と相違(http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html)