第13章 13.35

(1)

球の中心 $\dfrac{1}{2}(-3+5, 5+2, 7+3) = (1,3,5)$

半径 $\sqrt{(5-1)^2+(1-3)^2+(3-5)^2} = 2\sqrt{6}$

方程式 $(x-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=(2\sqrt{6})^2$

(2)

$x=1<2\sqrt{6}$ → yz平面では交わる

$y=3<2\sqrt{6}$ → xz平面で交わる

$z=5>2\sqrt{6}$ → xy平面では交わらない

yz平面で交わるとき、$x=0$ とすると球の方程式は

$(0-1)^2+(y-3)^2+(z-5)^2=(2\sqrt{6})^2 \qquad 1+(y-3)^2+(z-5)^2=24 \qquad (y-3)^2+(z-5)^2=23$

中心 $(0,3,5)$ 半径 $\sqrt{23}$ の円

xz平面で交わるとき

$(x-1)^2+(0-3)^2+(z-5)^2=(2\sqrt{6})^2 \qquad (x-1)^2+9+(z-5)^2=24 \qquad (x-1)^2+(z-5)^2=15$

中心 $(1,0,5)$ 半径 $\sqrt{15}$ の円

(3)

球が z軸と交わる点は $x,y=0$ として

$(0-1)^2+(0-3)^2+(z-5)^2=(2\sqrt{6})^2 \qquad 1+9+(z-5)^2=24 \qquad (z-5)^2=14$

$z \geq 5$ のとき $z - 5 = \sqrt{14}$ $z_1 = 5 + \sqrt{14}$

$z < 5$ のとき $-(z-5) = \sqrt{14}$ $z_2 = 5 - \sqrt{14}$

つまり、球は2点$z_1 = 5+\sqrt{14}$と$z_2 = 5-\sqrt{14}$でz軸と交わる

この2点間の距離は

$z_1 - z_2 = 5 + \sqrt{14} - (5 - \sqrt{14}) = 2\sqrt{14}$