第13章 13.34

球の中心$(0,0,0)$と平面との距離$h$は

$h = \dfrac{13 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 30}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \dfrac{30}{5\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

円の半径を$r$とすると球の半径が$5$であることから

$5^2 = h^2 + r^2 \qquad 5^2 = (3\sqrt{2})^2 + r^2 \qquad r = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$

また、このとき円の中心を通る平面$\alpha$の法線ベクトルは球の中心も通るので

$\begin{cases} x = 3t \\ y = -4t \\ z = 5t \end{cases} \quad (t \text{ は媒介変数})$

これらを平面$\alpha$の式へ代入すると

$3 \cdot 3t - 4 \cdot (-4t) + 5 \cdot 5t - 30 = 0 \qquad 50t = 30 \qquad t = \dfrac{3}{5}$

これから $\left(\dfrac{9}{5}, -\dfrac{12}{5}, 3\right)$ よってこの円の中心は$\left(\dfrac{9}{5}, -\dfrac{12}{5}, 3\right)$ 半径$\sqrt{7}$ となる