第13章 13.33

２平面 $2x+y-z+2=0$、$2x-2y+4z+5=0$ から等距離にある点を $(x_0, y_0, z_0)$ とすると

この２平面からの距離はそれぞれ

$h_1 = \frac{|2x_0+y_0-z_0+2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{|2x_0+y_0-z_0+2|}{\sqrt{6}}$

$h_2 = \frac{|2x_0-2y_0+4z_0+5|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}} = \frac{|2x_0-2y_0+4z_0+5|}{2\sqrt{6}}$

$h_1=h_2$ となるのは

$\frac{|2x_0+y_0-z_0+2|}{\sqrt{6}} = \frac{|2x_0-2y_0+4z_0+5|}{2\sqrt{6}}$

よって

$\frac{2x_0+y_0-z_0+2}{\sqrt{6}} = \frac{2x_0-2y_0+4z_0+5}{2\sqrt{6}}$

$4x_0+2y_0-2z_0+4 = 2x_0-2y_0+4z_0+5$

$2x_0+4y_0-6z_0-1=0$

または

$\frac{2x_0+y_0-z_0+2}{\sqrt{6}} = -\frac{2x_0-2y_0+4z_0+5}{2\sqrt{6}}$

$4x_0+2y_0-2z_0+4 = -2x_0+2y_0-4z_0-5$

$6x_0+2z_0+9=0$

よって $2x_0+4y_0-6z_0-1=0$ 及び $6x_0+2z_0+9=0$