高専の数学解説

第13章 13.32

(1)

n⃗\vec{n} と v⃗\vec{v} のなす角 α\alpha は

cos⁡α=n⃗⋅v⃗∣n⃗∣∣v⃗∣\cos\alpha = \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}||\vec{v}|}

v⃗\vec{v} の n⃗\vec{n} への正射影を v⃗′\vec{v}' とすると

v⃗′=v⃗−v⃗′′=v⃗−∣v⃗′′∣⋅n⃗∣n⃗∣=v⃗−∣v⃗∣cos⁡αn⃗∣n⃗∣=v⃗−∣v⃗∣⋅n⃗⋅v⃗∣n⃗∣∣v⃗∣⋅n⃗∣n⃗∣=v⃗−n⃗⋅v⃗∣n⃗∣2n⃗\vec{v}' = \vec{v} - \vec{v}'' = \vec{v} - |\vec{v}''|\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \vec{v} - |\vec{v}|\cos\alpha\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \vec{v} - |\vec{v}|\cdot\frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}||\vec{v}|}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \vec{v} - \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}

(2)

平面のベクトルは n⃗=(1,2,3)\vec{n} = (1,2,3)

v⃗′=v⃗−n⃗⋅v⃗∣n⃗∣2n⃗=(5,8,7)−(5,8,7)(1,2,3)(12+22+32)2(1,2,3)=(5,8,7)−5+16+2114(1,2,3)=(5,8,7)−(3,6,9)=(2,2,−2)\vec{v}' = \vec{v} - \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{|\vec{n}|^2}\vec{n} = (5,8,7) - \frac{(5,8,7)(1,2,3)}{(\sqrt{1^2+2^2+3^2})^2}(1,2,3) = (5,8,7) - \frac{5+16+21}{14}(1,2,3) = (5,8,7)-(3,6,9)=(2,2,-2)

解説: r31bn1z