第13章 13.31

(1)

直線 AB の式

$\frac{x-2}{6-2}=\frac{y+3}{5+3}=\frac{z+4}{4+4} \qquad x-2=\frac{y+3}{2}=\frac{z+4}{2} \qquad \text{方向ベクトルは}\ (1,2,2)$

直線 AB と直線 l とのなす角を $\theta$ とすると

$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{l}}{|\vec{AB}||\vec{l}|}=\frac{1\cdot8+2\cdot4+2\cdot1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\sqrt{8^2+4^2+1^2}}=\frac{18}{3\cdot9}=\frac{2}{3}$

また、AB の距離は

$AB=\sqrt{(6-2)^2+(5+3)^2+(4+4)^2}=\sqrt{4^2+8^2+8^2}=12$

よって線分 AB の直線 l 上への正射影の長さは

$AB\cos\theta=12\cdot\frac{2}{3}=8$

(2)

点 B と直線 l との距離は

$AB\sin\theta=AB\sqrt{1-\cos^2\theta}=12\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=12\cdot\sqrt{\frac{5}{9}}=4\sqrt{5}$