第13章 13.30

(1)

l,m を媒介変数 t を用いて表すと

$\begin{cases} x = 3+t \\ y=-5-2t \\ z=4+3t\end{cases}\quad ①$

$\begin{cases} x=-2+4u \\ y=2-5u \\ z=-5+6u\end{cases}\quad ②$

①＝②とすると $x = 3+t = -2+4u$ $t = 4u-5$ ③

$y=-5-2t=2-5u$ $2t-5u=-7$

これを③に代入

$2(4u-5)-5u=-7$ $3u=3$ $u=1$

これを②で代入すると

$\begin{cases}x=-2+4=2\\y=2-5=-3\\z=-5+6=1\end{cases}$ よって交点は$(2,-3,1)$

(2)

l と m を含む平面の方程式を $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ とおく

交点$(2,-3,1)$を含むので $a(x-2)+b(y+3)+c(z-1)=0$ ①

また l と m を含む→平行なので

l の方向ベクトル$(1,-2,3)$→$a-2b+3c=0$ ②

m の方向ベクトル$(4,-5,6)$→$4a-5b+6c=0$ ③

②×4－③は $-3b+6c=0$ $b=2c$ ④

②×5－③×2は $-3a+3c=0$ $a=c$ ⑤

④、⑤を①に代入して $c(x-2)+2c(y+3)+c(z-1)=0$

$c=0$であれば$a=b=c=0$となるので不適。よって$c\neq0$なので両辺を$c$で割ると

$(x-2)+2(y+3)+(z-1)=0$ $x+2y+z+3=0$