第13章 13.29

(1)

lの方向ベクトルは(2,1,5) mの方向ベクトルは(2,-3,-7)

この２つに垂直な直線nの方向ベクトルを(x,y,z)とすると

$2x + y + 5z = 0 \qquad ① \qquad\qquad 2x - 3y - 7z = 0 \qquad ②$

①－②より $4y + 12z = 0$ $y = -3z$ ③

①×3+②より $8x + 8z = 0$ $x = -z$ ④

③、④よりx: y: zは

$x: y: z = -z: -3z: z = -1: -3: 1 = 1: 3: -1$

(2)

平面βの方程式を$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$とする

直線mを含むので方向ベクトル$(2,-3,-7)$と平行から $2a - 3b - 7c = 0$ ①

また直線mを含むので点$(3,-1,-4)$を含むことから $a(x - 3) + b(y + 1) + c(z + 4) = 0$ ②

直線nと平行から $a + 3b - c = 0$ ③

①＋③より $3a - 8c = 0$

$a = \frac{8}{3}c$

①－③×2より $-9b - 5c = 0$

$b = -\frac{5}{9}c$

これより②式は

$\frac{8}{3}c(x - 3) - \frac{5}{9}c(y + 1) + c(z + 4) = 0 \qquad \text{ここで}c = 0\text{なら}a = b = c = 0\text{となるので}c \neq 0$

$24x - 72 - 5y - 5 + 9z + 36 = 0 \qquad\qquad 24x - 5y + 9z - 41 = 0$

(3)

直線lの式を媒介変数tを用いて表すと

$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 6 + t \\ z = -9 + 5t \end{cases}$

これらを(2)で求めた式へ代入すると

$24(-1+2t) - 5(6+t) + 9(-9+5t) - 41 = 0 \qquad -176+88t=0 \qquad t=2$

よって直線 $l$ と平面 $\beta$ との交点は

$x = -1+2\cdot2=3 \qquad y=6+2=8 \qquad z=-9+5\cdot2=1 \qquad (3,8,1)$

(4)

垂線 $m$ の方向ベクトルを$(a,b,c)$とする

直線 $m,l$ と垂直なのでその方向ベクトルは(1)より $(1,3,-1)$

点$(3,8,1)$を通るのでその式は $x-3=\dfrac{y-8}{3}=\dfrac{z-1}{-1}$

媒介変数 $v$ を用いて書き直すと

$\begin{cases} x=3+v \\ y=8+3v \\ z=1-v \end{cases} \qquad ①$

また、直線 $m$ も同様に

$\begin{cases} x=3+2u \\ y=-1-3u \\ z=-4-7u \end{cases} \qquad ②$

①=②となるときの座標を求める

$x=3+v=3+2u \qquad v-2u=0 \qquad v=2u \qquad ③$

$y=8+3v=-1-3u \qquad 3v+3u=-9 \qquad ④$

④を③に代入すると

$3\cdot(2u)+3u=-9 \qquad 9u=-9 \qquad u=-1$

これを③に代入すると

$\begin{cases} x=3+2\cdot(-1)=1 \\ y=-1-3\cdot(-1)=2 \\ z=-4-7\cdot(-1)=3 \end{cases} \qquad \text{よって交点}B\text{の座標は}(1,2,3)$

(5)

$A=(3,8,1) \qquad B=(1,2,3)$

$AB=\sqrt{(1-3)^2+(2-8)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+36+4}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$

これは直線 $l$ と $m$ の距離を表す