第13章 13.28

直線の方程式を媒介変数 t を用いて書き直すと

ここで垂線の式を $\dfrac{x-a_1}{x_0-a_1} = \dfrac{y-a_2}{y_0-a_2} = \dfrac{z-a_3}{z_0-a_3}$ とする

これに①式を$(x_0,y_0,z_0)$として点 P を$(a_1,a_2,a_3)$として代入すると

$\dfrac{x-6}{(2+2t)+6} = \dfrac{y-8}{(-2+3t)-8} = \dfrac{z-9}{(-5+6t)-9} \qquad \dfrac{x+6}{2t+8} = \dfrac{y-8}{3t-10} = \dfrac{z-9}{6t-14}$

またこの垂線の方向ベクトルは、直線の方向ベクトル$(2,3,6)$と直角なので

$2(2t+8)+3(3t-10)+6(6t-14)=0 \qquad 49t-98=0 \qquad t=2$

t=2 を①へ代入して $(6,4,7)$ これが交点 P’の座標となる

よって PP’の長さは

$PP' = \sqrt{(6+6)^2+(4-8)^2+(7-9)^2} = \sqrt{12^2+(-4)^2+(-2)^2} = \sqrt{144+16+4} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$