第13章 13.26

(1)

方向ベクトル$(2,3,-1)$より

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+2}{-1}$

(2)

方向ベクトルを$(x,y,z)$とすると

直交するベクトルの内積は$0$になるので直線のベクトルとの内積を考えて

$x+2y+z=0 \quad ①$

$3x-2y+z=0 \quad ②$

①+②から $4x+2z=0$ $z=-2x$ ③

①－②から $-2x+4y=0$ $y=\frac{1}{2}x$ ④

③、④から $x:y:z=2:1:-4$

これより直線の方向ベクトルは$(2,1,-4)$なので

$\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+1}{-4}$

(3)

y平面に水平なベクトルは、x方向へのベクトルが$0$なので、この平面の方程式は

$b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

これに2点$(2,0,5)$、$(0,3,-1)$を代入すると

$b(y-0)+c(z-5)=0 \qquad by+cz-5c=0 \quad ①$

$b(y-3)+c(z+1)=0 \qquad by+cz-3b+c=0 \quad ②$

①－②から $-5c+3b-c=0$ $b=2c$ ③

③を平面の方程式へ代入すると $2c(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ $(c\neq0)$

点$(2,0,5)$を通るので $2(y-0)+(z-5)=0$ $2y+z=5$

(4)

平面の方程式を $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ ① とすると

直線に平行 → $2a-b+c=0$ ②

平面に垂直 → $a-2b+c=0$ ③

②－③から $a+b=0$ $a=-b$ ④

②－③×2から $3b-c=0$ $c=3b$ ⑤

④、⑤を①に代入して $-b(x-x_0)+b(y-y_0)+3b(z-z_0)=0$

また点$(0,2,2)$を通るので $-b(x-0)+b(y-2)+3b(z-2)=0$

$b=0$であれば$a=b=c=0$のため、$b=0$ではない

よって$b\neq 0$のため、両辺を$b$で割ると

$-x+(y-2)+3(z-2)=0 \qquad -x+y+3z=8 \qquad x-y-3z+8=0$