第13章 13.25

(1)

$\overrightarrow{AB} = (2-1,3-2,1-3) = (1,1,-2)$

$\overrightarrow{AC} = (3-1,1-2,2-3) = (2,-1,-1)$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の作る角を $\theta$ とすると

$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|} = \frac{1\cdot2+1\cdot(-1)+(-2)\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

また $\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{6}$ $\left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{6}$ $\left|\overrightarrow{BC}\right| = \sqrt{(3-2)^2+(1-3)^2+(3-2)^2} = \sqrt{6}$

$\therefore \left|\overrightarrow{AB}\right| = \left|\overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right|$

これらより△ABC は正三角形である

(2)

正四面体であれば各辺のなす角 $\dfrac{\pi}{3}$ であるので

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{(x-1)+(y-2)-2(z-3)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}\sqrt{6}}$

$x-1=x'$、$y-2=y'$、$z-3=z'$ とおくと

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{x'+y'-2z'}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \qquad ①$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|} = \frac{2x'-y'-z'}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \qquad ②$

また $\left|\overrightarrow{AB}\right| = \left|\overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right| = \sqrt{6}$ より $\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2} = \sqrt{6}$ ③

これを①、②にそれぞれ代入すると

$x'+y'-2z'=3 \quad ④ \qquad\qquad 2x'-y'-z'=3 \quad ⑤$

④より $x'=-y'+2z'+3$ ④’

④’を⑤に代入して $2(-y'+2z'+3)-y'-z'=3$ $-3y'+3z'=-3$ $y'=z'+1$ ⑥

⑥を④’へ代入すると

$x'=-(z'+1)+2z'+3 \qquad x'=z'+2 \quad ⑦$

⑥、⑦を③に代入すると

$\sqrt{(z'+2)^2+(z'+1)^2+z'^2} = \sqrt{6} \qquad \text{両辺を2\text{乗して}}$

$z'^2+4z'+4+z'^2+2z'+1+z'^2=6 \qquad 3z'^2+6z'-1=0 \qquad z'=\frac{-3\pm2\sqrt{3}}{3}$

⑦より $x'=\dfrac{-3\pm2\sqrt{3}}{3}+2=\dfrac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$

⑥より $y'=\dfrac{-3\pm2\sqrt{3}}{3}+1=\dfrac{\pm2\sqrt{3}}{3}$

$x-1=x'$、$y-2=y'$、$z-3=z'$ より

$x=x'+1=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}+1=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3} \qquad\qquad y=y'+2=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}+2=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3}$

$z=z'+3=\frac{-3\pm2\sqrt{3}}{3}+3=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3}$

$\therefore x=y=z=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3}$