第13章 13.15

$x - 1 = \dfrac{y - 3}{a} = \dfrac{z + 4}{-3} \qquad x + 2 = \dfrac{y + 7}{2} = \dfrac{z + b}{3}$

２つの直線が直交するには方向ベクトルの内積が $0$ となれば良い

２つの方向ベクトルは $(1, a, -3)$ $(1,2,3)$ なので

$1 \cdot 1 + a \cdot 2 + (-3) \cdot 3 = 0 \qquad 1 + 2a - 9 = 0 \qquad a = 4$

２つの直線が交わるのでそれぞれの $x$ と $y$ から

$x - 1 = \dfrac{y - 3}{a} \qquad x - 1 = \dfrac{y - 3}{4} \qquad 4(x - 1) = y - 3 \qquad 4x - y = 1$

$x + 2 = \dfrac{y + 7}{2} \qquad 2(x + 2) = y + 7 \qquad 2x - y = 3$

これより

$x = -1 \qquad y = -5$

１つ目の式から $x - 1 = \dfrac{z + 4}{-3}$ に $x = -1$ を代入して

$-2 = \dfrac{z + 4}{-3} \qquad 6 = z + 4 \qquad z = 2$

２つ目の式から $x + 2 = \dfrac{z + b}{3}$ に $x = -1, z = 2$ を代入して

$-1 + 2 = \dfrac{2 + b}{3} \qquad 3 = 2 + b \qquad b = 1$

これから

$a = 4 \quad b = 1 \quad \text{交点}(-1, -5, 2)$