第11章 11.5

△ABC と△LMN が右図のようにあるとすると

△ABC の重心は線分 AL,BM,CN の交点であり

線分 LM を等分に分ける点を P とした場合

$NC = NA + AC$

$NP = NM + MP = NA + AM + MP = NA + AM + \frac{1}{2}ML$

$= NA + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}CB\right) = NA + \frac{3}{4}AC + \frac{1}{4}CB$

$= NA + \frac{3}{4}AC + \frac{1}{4}(2AN - AC) = \frac{1}{2}NA + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(NA + AC) = \frac{1}{2}NC$

これから NP と NC は同じ方向のベクトルであるので１直線上にあることになる。

同様に NM の中点や NL の中点でも上記の方法でそれぞれが１直線上にあることが導かれる。

よって△ABC と△LMN の重心を求めるための直線が同じ所で交差することが言える

これから△ABC と△LMN の重心は一致する