第10章 10.15

(1)

$y' = \exp(x^2) + x \cdot 2x \cdot \exp(x^2) = \exp(x^2)(1 + 2x^2)$

$x=1$を代入して $y' = e(1+2) = 3e$ （接線の傾き）

接線の方程式は $y - e = 3e(x-1)$ $y = 3ex - 2e$

(2)

曲線の x 軸との交点は y=0 を代入して

$0 = x \cdot \exp(x^2) \qquad \therefore x = 0$

接線の x 軸との交点は y=0 を代入して

$0 = 3ex - 2e \qquad \therefore x = \frac{2}{3}$

よって積分範囲は$0 \leq x \leq 1$として右図より

$\int_0^1 x \cdot \exp(x^2)\,dx - \int_{\frac{2}{3}}^1 (3ex - 2e)\,dx$

第１項において$x^2 = t$とおくと

$= \int_0^1 e^t\,dt - \int_{\frac{2}{3}}^1 (3ex - 2e)\,dx = \frac{1}{2}[e^t]_0^1 - e\left[\frac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{\frac{2}{3}}^1 = \frac{1}{2}(e - e^0) - e\left(\frac{3}{2}\cdot 1 - 2\cdot 1 - \frac{3}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2\cdot\frac{2}{3}\right)$

$= \frac{1}{2}(e-1) - e\left(-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right) = e - \frac{2}{3}e - \frac{1}{2} = \frac{3-2}{3}e - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}e - \frac{1}{2}$