第10章 10.14

(1)

$y' = \frac{6(x^2+2)-6x\cdot 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{-6x^2+12}{(x^2+2)^2}$

$y'=0$のとき $-6x^2+12=0$ $x=\pm\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2}$のとき $y=\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 極大

$x=-\sqrt{2}$のとき $y=-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 極小

(2)

(1)より $x=1$のとき $y'=\dfrac{-6+12}{3^2}=\dfrac{2}{3}$ これから

接線：$y-2=\dfrac{2}{3}(x-1)$ $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$

接線が曲線と交わる点は

$\begin{cases} y=\dfrac{6x}{x^2+2} \\ y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3} \end{cases}$

より、 $\dfrac{6x}{x^2+2}=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$ $6x=\dfrac{2}{3}(x+2)(x^2+2)$ $9x=x^3+2x+2x^2+4$

$(x-1)(x-1)(x+4)=0$ $x=1,-4$

$x=-4$のとき $y=\dfrac{2}{3}\cdot(-4)+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{4}{3}$ これから 交点$\left(-4,-\dfrac{4}{3}\right)$

(3)

交点は$(1,2)$と$\left(-4,-\dfrac{4}{3}\right)$なので 積分範囲は$-4\le x\le 1$

この区間では $\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\ge \dfrac{6x}{x^2+2}$ なので

$S=\int_{-4}^{1}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right)dx-\int_{-4}^{1}\left(\dfrac{6x}{x^2+2}\right)dx$

第２項で$x^2+2=t$とおくと $2xdx=dt$ $x:-4\to 1$ $t:18\to 3$

$= \frac{2}{3}\int_{-4}^{1}(x+2)dx - \int_{18}^{3}\frac{3}{t}dt = \frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-4}^{1} - 3[\log t]_{18}^{3} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}+2-8+8\right) - 3\log\frac{3}{18}$

$= \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{2} - 3\log\frac{1}{6} = \frac{5}{3} + 3\log 6$