第10章 10.16

(1)

$y=2x^2$ $x=\sqrt{\dfrac{y}{2}}$

$y=x^2+1$ $x=\sqrt{y-1}$

・$-1<a<0$ のとき

$y=x^2+1$は範囲外である

積分範囲$0\leqq y\leqq a+1$

$V=\pi\int_0^{a+1}\left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2dy=\frac{\pi}{2}\int_0^{a+1}ydy=\frac{\pi}{2}\cdot\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^{a+1}$

$=\frac{\pi}{4}(a+1)^2$

・$0<a<1$ のとき

積分範囲$a\leqq y\leqq a+1$

$V=\pi\int_a^{a+1}\left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2dy-\pi\int_1^{a+1}\left(\sqrt{y-1}\right)^2dy=\frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{2}y^2\right]_a^{a+1}-\pi\left[\frac{1}{2}y^2-y\right]_1^{a+1}$

$=\frac{\pi}{4}\{(a+1)^2-a^2\}-\pi\left\{\frac{1}{2}(a+1)^2-(a+1)-\frac{1}{2}+1\right\}=\frac{\pi}{4}(-2a^2+2a+1)$

・$1<a<2$のとき

積分範囲$a\leqq y\leqq 2$

$V=\pi\int_a^2\left(\sqrt{\frac{y}{2}}\right)^2dy-\pi\int_a^2\left(\sqrt{y-1}\right)^2dy=\frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{2}y^2\right]_a^2-\pi\left[\frac{1}{2}y^2-y\right]_a^2$

$=\frac{\pi}{4}(4-a^2)-\frac{\pi}{2}(-a^2+2a)=\frac{\pi}{4}(a-2)^2$

(2)

(1)から$0<a<1$のとき

$V=\frac{\pi}{4}(-2a^2+2a+1)\qquad V'_{(a)}=\frac{\pi}{4}(-4a+2)$

$V'_{(a)}=0$ のとき $a=\dfrac{1}{2}$

$V''_{(a)}=-\pi<0$ 極大

よって$a=\dfrac{1}{2}$のとき最大値$V=\dfrac{3}{8}\pi$