第7章 7.24

$nx + \dfrac{1}{(1+x)^n} - 1 > 0$ となればよい

$f = nx + \dfrac{1}{(1+x)^n} - 1$ として

$f' = n - \dfrac{n}{(1+x)^{n+1}}$

$f' = 0$ のとき $x = 0$ $x > 0$ より極値は取らない

$x > 0$ のとき $1 + x > 1$ となり $\dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} < 1$ となる よって

$f' = n - \dfrac{n}{(1+x)^{n+1}} = n\left\{1 - \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}}\right\} > 0$ となり 単調増加となるため 与式は成り立つ

(2)

$\sin x + \cos x - 1 - x + x^2 > 0$ となればよい

$f = \sin x + \cos x - 1 - x + x^2$ として

$f' = \cos x - \sin x - 1 + 2x = \sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 + 2x$

$f' = 0$ のとき $\sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + 2x = 1$ $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $x = 0$ $x > 0$ より極値は取らない

$x > 0$ のとき $f' > 0$ となり単調増加となるため 与式は成り立つ