第7章 7.19

(1)

底辺の１辺を$a$とし、高さを$x$とすると

体積$V = a^2x$

表面積$S = 2a^2 + 4ax = 2a^2 + \dfrac{4V}{a}$

$S' = 4a - \dfrac{4V}{a^2} = \dfrac{4a^3 - 4V}{a^2}$ $S'=0$のとき $4a^3 - 4V = 0$ $a^3 = V$

よって$x = a$となり、立方体となる

(2)

体積Vは高さを$ax$底円の半径を$x$とすると

$V = \frac{1}{3}\pi x^2 \cdot ax = \frac{1}{3}\pi ax^3$

$a = \frac{3V}{\pi x^3} \qquad ①$

よって側面積Sは

$S = \frac{1}{2}\cdot 2\pi x \cdot x\sqrt{a^2+1} = \pi x^2\sqrt{\left(\frac{3V}{\pi x^3}\right)^2+1} = \pi x^2 \cdot \frac{1}{\pi x^3}\sqrt{9V^2+\pi^2x^6} = \frac{1}{x}\sqrt{9V^2+\pi^2x^6}$

$S' = -\frac{1}{x^2}\sqrt{9V^2+\pi^2x^6} + \frac{1}{x}\cdot\frac{6\pi^2x^5}{2\sqrt{9V^2+\pi^2x^6}} = \frac{1}{x^2\sqrt{9V^2+\pi^2x^6}}\{-(9V^2+\pi^2x^6)+3\pi^2x^6\}$

$= \frac{1}{x^2\sqrt{9V^2+\pi^2x^6}}\{2\pi^2x^6-9V^2\}$

$S'=0$のとき $2\pi^2x^6-9V^2=0$ $V=\dfrac{1}{3}\sqrt{2}\pi x^3$

式①と比較すると

$a=\sqrt{2}$となる

よって高さと底円の半径の比は 高さ:底円$=\sqrt{2}:1$