第7章 7.20

$P(a, 1-a^2)$ とすると

$y = 1 - x^2 \qquad y' = -2x \qquad x=a \text{ のとき} \qquad y' = -2a$

接線: $y - (1-a^2) = -2a(x-a)$ $\qquad y = -2ax + a^2 + 1$

x軸との交点は $A\left(\dfrac{a^2+1}{2a}, 0\right)$ y軸との交点は $B(0, a^2+1)$

これから△OABの面積Sは $S = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2+1}{2a}\cdot(a^2+1) = \dfrac{(a^2+1)^2}{4a}$

$S' = \frac{2(a^2+1)\cdot 2a \cdot 4a - (a^2+1)^2 \cdot 4}{(4a)^2} = \frac{16a^4+16a^2-4a^4-8a^2-4}{(4a)^2} = \frac{12a^4+8a^2-4}{(4a)^2} = \frac{4(3a^2-1)(a^2+1)}{(4a)^2}$

$S'=0$ のとき $a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

このとき面積 $S = \dfrac{\left(\dfrac{1}{3}+1\right)^2}{4\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{3}\cdot\dfrac{16}{9}}{4} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$