第7章 7.9

(1)

$f = x^3 + 3x - 1$ $\qquad$ $y' = 3x^2 + 3$

$x = 0$ のとき $y = -1$ $\qquad$ $y' = 3$

これから

接線：$y - (-1) = 3x$ $\qquad$ $y = 3x - 1$

法線：$y - (-1) = -\dfrac{1}{3}x$ $\qquad$ $y = -\dfrac{1}{3}x - 1$

(2)

$y = \sqrt{x+1}$ $\qquad$ $y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$x = 3$ のとき $y = 2$ $\qquad$ $y' = \dfrac{1}{4}$

これから

接線：$y - 2 = \dfrac{1}{4}(x - 3)$ $\qquad$ $y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{4}$

法線：$y - 2 = -4(x - 3)$ $\qquad$ $y = -4x + 14$

(3)

$y = \dfrac{x}{x+1}$ $\qquad$ $y' = \dfrac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$

$x = 1$ のとき $y = \dfrac{1}{2}$ $\qquad$ $y' = \dfrac{1}{4}$

これから

接線：$y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}(x - 1)$ $\qquad$ $y = \dfrac{1}{4}(x + 1)$

法線：$y - \dfrac{1}{2} = -4(x - 1)$ $\qquad$ $y = -4x + \dfrac{9}{2}$

(4)

$y = \log(x^2 + 1) \qquad y' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

$x = 1$のとき $y = \log 2$ $y' = 1$

これから

接線：$y - \log 2 = x - 1$ $y = x - 1 + \log 2$

法線：$y - \log 2 = -(x - 1)$ $y = -x + 1 + \log 2$