第6章 6.4

(1)

$\lim_{\theta\to0}\frac{\sin3\theta}{\theta} \quad \text{ロピタルの定理より} \quad \lim_{\theta\to0}\frac{3\cos3\theta}{1}=3$

(2)

$\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{\sin7x} \quad \text{ロピタルの定理より} \quad \lim_{x\to0}\frac{4\cos4x}{7\cos7x}=\frac{4}{7}$

(3)

$\lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h} \quad \text{ロピタルの定理より} \quad \lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{\cos^{2}h}}{1}=1$

(4)

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}} \quad \text{ロピタルの定理より} \quad \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x} \quad \text{ロピタルの定理より}$

$\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$

(5)

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x}=\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\sin^{2}x(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2}$

(6)

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x\sin x(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{x\sin x(1+\cos x)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x(1+\cos x)} \quad \text{ロピタルの定理より}$

$\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1+\cos x+x(-\sin x)}=\frac{1}{2}$