第5章 5.16

$x=1$で微分可能であるためには$x=1$で２つの式が滑らかに繋がっている必要がある

つまり$x=1$で同じ点を通り、さらに微分値（傾き）が等しければよい。

$A = x^2+1、\quad B = \frac{ax+b}{x+1} \text{とおくと} \quad x=1\text{で同じ点を通るので}$

$1^2+1=\frac{a+b}{1+1} \qquad 2=\frac{a+b}{2} \qquad a+b=4 \qquad ①$

A,Bを微分すると

$A'=2x \qquad x=1\text{のとき} \qquad A'=2$

$B'=\frac{a(x+1)-(ax+b)}{(x+1)^2}=\frac{a-b}{(x+1)^2} \qquad x=1\text{のとき} \qquad B'=\frac{a-b}{2^2}=\frac{a-b}{4}$

これらが等しい値を取るので $2=\dfrac{a-b}{4} \qquad a-b=8 \qquad ②$

①、②から

$\begin{cases} a+b=4 \\ a-b=8 \end{cases} \qquad \therefore a=6、\ b=-2$