f(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anf_{(x)} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_nf(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an とおくと f(x)f_{(x)}f(x)は全区間 R で連続である x=−∞x = -\inftyx=−∞ とおくと limx→−∞f(x)=−∞<0\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f_{(x)} = -\infty < 0x→−∞limf(x)=−∞<0 x=∞x = \inftyx=∞ とおくと limx→∞f(x)=∞>0\displaystyle\lim_{x\to \infty} f_{(x)} = \infty > 0x→∞limf(x)=∞>0 これから中間値の定理により f(x)=a0Cn+a1Cn−1+⋯+an−1C+anf_{(x)} = a_0 C^n + a_1 C^{n-1} + \cdots + a_{n-1}C + a_nf(x)=a0Cn+a1Cn−1+⋯+an−1C+an であるようなCが(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)の中に、つまり実数の範囲に少なくとも1つ存在する