第5章 5.12

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(1)

$x = 0$ において同じ点を取っていないため不連続である

(2)

$x = 0$ において同じ点を取っていないため不連続である

(3)

$x = 0$ において同じ点を取る

$f = 0 \qquad f' = 0 \qquad x = 0 \text{のとき} \quad f' = 0$

$f = x^2 \qquad f' = 2x \qquad x = 0 \text{のとき} \quad f' = 0$

傾きも等しいため連続である

(4)

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$

$x = 1$ において同じ点を取っていないため不連続である

(5)

$f = \begin{cases} 1 + x & (x < 0) \\ 1 - x & (x \geq 0) \end{cases}$

$x = 0$ において同じ点を取る

$f = 1 + x \qquad f' = 1 \qquad x = 0 \text{のとき} \quad f' = 1$

$f = 1 - x \qquad f' = -1 \qquad x = 0 \text{のとき} \quad f' = -1$

傾きが異なるため不連続である

(6)

$f = \begin{cases} -1 & (x < 2) \\ 1 & (x > 2) \end{cases}$

$x = 2$ において点を取らないため不連続である