第4章 4.19

片方の球の半径を$x$とする

この２つの球の体積$V$は

$V = \frac{4}{3}\pi(a-x)^3 + \frac{4}{3}\pi x^3 = \frac{4}{3}\pi\{(a-x)^3+x^3\}$

$V' = \frac{4}{3}\pi\{-3(a-x)^2+3x^2\}$

$V'=0$になるには

$\frac{4}{3}\pi\{-3(a-x)^2+3x^2\}=0 \qquad -(a-x)^2+x^2=0 \qquad -a^2+2ax-x^2+x^2=0$

$2ax=a^2 \qquad x=\frac{1}{2}a$

このときの体積は

$V=\frac{4}{3}\pi\left\{\left(a-\frac{1}{2}a\right)^3+\left(\frac{1}{2}a\right)^3\right\}=\frac{4}{3}\pi\left\{\left(\frac{1}{2}a\right)^3+\left(\frac{1}{2}a\right)^3\right\}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{1}{8}a^3\cdot2=\frac{1}{3}\pi a^3$

半径$a$の球の体積は

$\frac{4}{3}\pi a^3\Big|_{(x=a)} > \frac{1}{3}\pi a^3\Big|_{(x=\frac{1}{2}a)}$ であり $x=\frac{1}{2}a$ が極小値であることも分かる

→ 両方とも半径$\frac{1}{2}a$

→ そのとき体積$\frac{1}{3}\pi a^3$