第4章 4.18

右図のように直円錐の底面の円の半径を x とすると

この円錐の体積 V は

$V = x^2\pi \times \left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x^2\pi(a+\sqrt{a^2-x^2})$

$V' = \frac{1}{3}\pi\left\{2x\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right) + x^2\cdot(-2x)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\right\}$

$V'=0$になるのは

$\frac{2}{3}x\pi\left\{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)-\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\right\}=0$

$\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\left(a\sqrt{a^2-x^2}+a^2-x^2-\frac{x^2}{2}\right)=0$

$\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\left(\sqrt{a^2-x^2}+a-\frac{3x^2}{2a}\right)=0 \qquad \sqrt{a^2-x^2}+a-\frac{3x^2}{2a}=0$

$\sqrt{a^2-x^2}=-a+\frac{3x^2}{2a} \qquad \text{両辺を２\text{乗して}} \qquad a^2-x^2=\frac{9x^4}{4a^2}-3x^2+a^2$

$\frac{9x^4}{4a^2}-2x^2=0 \qquad 9x^4-8a^2x^2=0 \qquad x^2(9x^2-8a^2)=0 \qquad x^2\left(3x-2\sqrt{2}a\right)\left(3x+2\sqrt{2}a\right)=0$

$\therefore x=0,\ \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}a$

但し $0<x<a$ なので $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$ が極値

$x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$ の前後でV’はマイナス

つまり V は減少するので $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$ のとき V は最大である

この円錐の高さは

$a+\sqrt{a^2-x^2}=a+\sqrt{a^2-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}a\right)^2}=a+\sqrt{a^2-\frac{8}{9}a^2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a$