第4章 4.17

円板の半径を r、円錐の底円の円周を m、半径を a、円錐の高さを h とすると

r:一定 m,a,h:θによって可変 となる

円錐の体積 V は $a^2 = r^2 - h^2$ から

$V = \frac{1}{3}\pi a^2 h = \frac{1}{3}\pi(r^2 - h^2)h = \frac{1}{3}\pi(r^2 h - h^3)$

$V' = \frac{1}{3}\pi r^2 - \pi h^2$

$V' = 0$ のとき $\dfrac{1}{3}\pi r^2 - \pi h^2 = 0$ $\dfrac{1}{3}r^2 = h^2$ $h = \dfrac{r}{\sqrt{3}}$ これから $a = \sqrt{\dfrac{2}{3}}r$

$m = 2\pi a = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} r$

m を円板の方から求めると $m = r(2\pi - \theta)$ なので

$2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} r = r(2\pi - \theta) \qquad 2\pi \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\pi - \theta \qquad \theta = 2\pi\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)$