第4章 4.16

円錐に内接する円柱の底円の半径を x、高さを y とおくと

x と y の関係式は

$y = -\frac{h}{a}x + h$

円柱の体積 V は

$V = \pi x^2 y = \pi x^2\left(-\frac{h}{a}x + h\right) = -\frac{h\pi}{a}x^3 + \pi h x^2$

$V' = -3\frac{\pi h}{a}x^2 + 2\pi h x = \pi h x\left(-\frac{3}{a}x + 2\right)$

$V' = 0$ のとき

$\pi h x\left(-\frac{3}{a}x + 2\right) = 0$

$x = 0, \frac{2}{3}a \qquad \text{これから} \qquad x = \frac{2}{3}a$

このとき

$V = -\frac{h\pi}{a}\left(\frac{2}{3}a\right)^3 + \pi h\left(\frac{2}{3}a\right)^2 = -\frac{8\pi h a^2}{27} + \frac{4\pi h a^2}{9} = \frac{4\pi h a^2}{27}$

よって

底円の半径 $\dfrac{2}{3}a$ 体積 $\dfrac{4\pi h a^2}{27}$