第4章 4.12

$y = x^3 - 3x^2 + 2$

$y' = 3x^2 - 6x$

$y' = 0$のとき

$3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \qquad \therefore x = 0, 2$

$x = 0$のとき $y = 2$ 極大

$x = 2$のとき $y = -2$ 極小

これから右図のようなグラフが描ける。

$y = -2$となるのは $-2 = x^3 - 3x^2 + 2$ $0 = x^3 - 3x^2 + 4$ $0 = (x + 1)(x - 2)^2$ $\therefore x = -1, 2$

$y = 2$となるのは $2 = x^3 - 3x^2 + 2$ $0 = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$ $\therefore x = 0, 3$

よって

$0 < a < 2$のとき

最大値は$x = 0$の時で $y = 2$ 最小値は$x = a$のときで $y = a^3 - 3a^2 + 2$

$2 \leq a \leq 3$のとき

最大値は$x = 0, 3$の時で $y = 2$ 最小値は$x = 2$のときで $y = -2$

$3 < a$のとき

最大値は$x = a$の時で $y = a^3 - 3a^2 + 2$ 最小値は$x = 2$のときで $y = -2$