第4章 4.13

$x^2 + 4y^2 = 4 \quad ①$

$x(x+2y^2) = x^2 + 2xy^2 = f \quad \text{とする} \quad ②$

①より

$4y^2 = 4 - x^2 \qquad y^2 = 1 - \frac{1}{4}x^2$

これを②に代入して

$f = x^2 + 2x\left(1 - \frac{1}{4}x^2\right) = -\frac{1}{2}x^3 + x^2 + 2x$

$f' = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 2$

$f'=0$のとき

$-\frac{3}{2}x^2 + 2x + 2 = 0 \qquad -3x^2 + 4x + 4 = 0 \qquad 3x^2 - 4x - 4 = 0 \qquad (3x+2)(x-2) = 0 \qquad x = -\frac{2}{3}, 2$

これを①に代入して

$x = -\frac{2}{3}\text{のとき} \qquad \frac{1}{9} + y^2 = 1 \qquad y^2 = \frac{8}{9} \qquad y = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$x = 2 \text{のとき} \qquad 4 + 4y^2 = 4 \qquad y^2 = 0 \qquad y = 0$

$y = 0 \text{より} \qquad f = x^2 \qquad \text{となることから} \qquad x = \pm 2 \qquad \text{が適当となる}$

よってこれらを②に代入して

$x = -\frac{2}{3}、\ y = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} \text{のとき} \qquad \text{最小値} -\frac{20}{27}$

$x = \pm 2、\ y = 0 \text{のとき} \qquad \text{最大値} 4$