第4章 4.11

$f' = 4x^3 - 12x^2 + 4ax$

$f'' = 12x^2 - 24x + 4a$

$f'=0$ のとき $4x(x^2-3x+a)=0$ $x=0, \dfrac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2}$

$x=0$ のとき $f''=4a$

$f''=0$ のとき $a=0$

$x=\dfrac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2}$ のとき

$f'' = 12\left(\frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2}\right)^2 - 24\left(\frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2}\right) + 4a = 3(9\pm6\sqrt{9-4a}+9-4a) - 12(3\pm\sqrt{9-4a}) + 4a$

$= 2(9-4a\pm3\sqrt{9-4a})$

$f''=0$ のとき $9-4a\pm3\sqrt{9-4a}=0$ $(9-4a)^2=9(9-4a)$ $a=0, \dfrac{9}{4}$

$x^2-3x+a$ で判別式 D が負となる場合

$D = 9-4a < 0 \qquad a > \frac{9}{4}$

これから

$a=0，\ a\ge\frac{9}{4}$