第1章 1.24

(1)

$\left\{\sum_{k=1}^{10}\left(\sum_{i=1}^{10} ik\right)\right\} - \sum_{l=1}^{10} l^2 = \left\{\sum_{k=1}^{10} k \cdot \left(\sum_{i=1}^{10} i\right)\right\} - \frac{10\cdot(10+1)(2\cdot10+1)}{6}$

$= \frac{10\cdot(10+1)}{2}\cdot\frac{10\cdot(10+1)}{2} - 385 = 3025 - 385 = 2640$

ただしこれは$1\times2+2\times1+\cdots$などのように２つの数の積の組み合わせが重複した値なので２で割って

$\frac{2640}{2} = 1320$

(2)

$\frac{1}{2}\left[\left\{\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} ik\right)\right\} - \sum_{l=1}^{n} l^2\right] = \frac{1}{2}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right\}$

$= \frac{1}{24}\cdot n(n+1)\{3n(n+1) - 2\cdot(2n+1)\} = \frac{1}{24}\cdot n(n+1)(3n^2-n-2) = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

(3)

$(x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+3)\cdots\cdots(x+n) = (1+2+3+\cdots+n)x^{n-1} + (1+2+\cdots+n)(1+2+\cdots+n)x^{n-2} + \cdots$

となるので$x^{n-1}$の係数は

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

一方$x^{n-2}$の係数は(2)より

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$