高専の数学解説

第1章 1.25

(1)

an+1−an=3(n−1)+1a_{n+1}-a_n=3(n-1)+1

n≥2n\geq 2のとき

an=a1+∑k=1n−1(an+1−an)として求めるとa_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{n+1}-a_n)\quad\text{として求めると}

=1+∑k=1n−1{3(n−1)+1}=1+3∑k=1n−1n−∑k=1n−12=1+3⋅(n−1)⋅n2−2(n−1)=1+\sum_{k=1}^{n-1}\{3(n-1)+1\}=1+3\sum_{k=1}^{n-1}n-\sum_{k=1}^{n-1}2=1+3\cdot\frac{(n-1)\cdot n}{2}-2(n-1)

=1+32n2−32n−2n+2=12(3n2−7n+6)=1+\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n-2n+2=\frac{1}{2}(3n^2-7n+6)

(2)

an+1−an=2n−1の等比数列になっているa_{n+1}-a_n=2^{n-1}\quad\text{の等比数列になっている}

これからもとの数列ana_nの一般式は

an=a1+∑k=1n−1(an+1−an)=2+∑k=1n−12n−1a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{n+1}-a_n)=2+\sum_{k=1}^{n-1}2^{n-1}

2n−12^{n-1}の和は S=a(rn−1−1)r−1=1⋅(2n−1−1)2−1=2n−1−1S=\frac{a(r^{n-1}-1)}{r-1}=\frac{1\cdot(2^{n-1}-1)}{2-1}=2^{n-1}-1

から

=2+2n−1−1=2n−1+1=2+2^{n-1}-1=2^{n-1}+1

解説: r31bn1z