第1章 1.23

(1)

$n = 2$ のとき

$1 + \frac{1}{2} > \frac{2 \cdot 2}{2+1} \qquad \frac{3}{2} > \frac{4}{3}$ これは成立している

$n = k$ のとき与式が成り立つとして

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} > \frac{2k}{k+1}$

両辺に $\dfrac{1}{k+1}$ を加えると

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{k+1}$

$(\text{右辺}) = \frac{2k+1}{k+1} = 1 + \frac{k}{k+1} > 1 + \frac{k}{k+2} = \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}$

よって

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}$ が成立する

これより $n \geq 2$ のすべての自然数で与式は成立する

(2)

$n = 3$ のとき

$3! > 2^{3-1} \qquad 6 > 4 \qquad \text{これは成立している}$

$n = k$ のとき与式が成り立つとして

$k! > 2^{k-1}$

両辺に $n = k+1$ とした $(k+1)$ を掛けると

$k! \times (k+1) > 2^{k-1} \times (k+1)$

$(k+1)! > (k+1) \cdot 2^{k-1}$

$n$ の定義より $k \geq 3$ なので

$(\text{右辺}) = (k+1) \cdot 2^{k-1} > 4 \cdot 2^{k-1} > 2^{k+1}$

これより

$(k+1) \cdot 2^{k-1} > 2^k$

なので

$(k+1)! > 2^k$

よって $n = k+1$ のときでも与式は成り立つ

これより $n \geq 3$ のすべての自然数で与式は成立する

(3)

$n = 2$ のとき

$(1+h)^2 > 1 + 2 \cdot h \qquad 1 + 2h + h^2 > 1 + 2h \qquad \text{これは成立している}$

$n = k$ のとき与式が成り立つとして

$(1+h)^k > 1 + hk$

両辺に $n = k+1$ とした $(1+h)$ を掛けると

$(1+h)^{k+1} > (1+hk)(1+h) = 1 + h + hk + h^2 k = 1 + h(1+k) + h^2 k$

よって $n = k+1$ のときでも与式は成り立つ

これより $n \geq 2$ のすべての自然数で与式は成立する