第1章 1.17

$S = \frac{n \cdot \{2a + (n-1) \cdot d\}}{2}$ より

$= \frac{n \cdot \{2 \cdot 120 + (n-1) \cdot 5\}}{2} = \frac{n \cdot (235 + 5n)}{2}$

また、多角形の内角の和は $(n-2) \times 180$ となるので

$(n-2) \times 180 = \frac{n \cdot (235 + 5n)}{2}$

$360 \cdot (n-2) = n \cdot (235 + 5n)$

$0 = n^2 - 25n + 144 \qquad 0 = (n-16)(n-9) \qquad \therefore n = 9, 16$

$a_n = a + (n-1) \cdot d$ より

$= 120 + (n-1) \cdot 5 = 5n + 115$

これに $n = 9$ を代入すると

$a_n = 5 \cdot 9 + 115 = 160° < 180°$

一方、$n = 16$ を代入すると

$a_n = 5 \cdot 16 + 115 = 195° > 180°$ となり、$n = 16$ のときは凸多角形の形にはならないので

解は $n = 9$ のみ

よって九角形