第1章 1.14

(1)

$a_n = a + (n-1) \cdot d$ より $a = 100$ なので

$58 = 100 + (7-1) \cdot d \qquad \therefore d = -7$

$a_n = 100 + (n-1) \cdot (-7) = -7n + 107$

第１０項は $a_{10} = -7 \cdot 10 + 107 = 37$

(2)

$a_n = a + (n-1) \cdot d$ より $d = 2$ なので

$4 = a + (8-1) \cdot 2 \qquad \therefore a = -10$

よってこの等差数列の和は $a = -10$、$d = 2$ より

$S = \frac{n \cdot \{2a + (n-1) \cdot d\}}{2} = \frac{n \cdot \{2 \cdot (-10) + (n-1) \cdot 2\}}{2} = \frac{n \cdot \{2n - 22\}}{2} = n^2 - 11n$

第１００項までの和は $n = 100$ として

$S = 100^2 - 11 \cdot 100 = 8900$

(3)

$a_n = a + (n-1) \cdot d$ より

$12 = a + (5-1) \cdot d \qquad \therefore 12 = a + 4d \qquad ①$

$S = \frac{n \cdot \{2a + (n-1) \cdot d\}}{2}$ より

$20 = \frac{5 \cdot \{2a + (5-1) \cdot d\}}{2} \qquad \therefore 4 = a + 2d \qquad ②$

①-②より $\therefore d = 4$

①に代入して $12 = a + 4 \cdot 4 \qquad \therefore a = -4$

(4)

$a_n = a + (n-1) \cdot d$ より

$-20 = 50 + (n-1) \cdot d$

$(n-1) \cdot d = -70 \qquad \therefore d = \dfrac{-70}{n-1} \qquad ①$

$S = \dfrac{n \cdot \{2a + (n-1) \cdot d\}}{2}$

$540 = \dfrac{n \cdot \{2 \cdot 50 + (n-1) \cdot d\}}{2} \qquad \therefore 1080 = n \cdot \{100 + (n-1) \cdot d\} \qquad ②$

②に①を代入して

$1080 = n \cdot \left\{100 + (n-1) \cdot \dfrac{-70}{n-1}\right\} \qquad 1080 = 30n \qquad \therefore n = 36$

これをを①に代入して

$d = \dfrac{-70}{36-1} = -2$