第1章 1.13

(1)

（ⅰ）$n=1$のとき $1=1^2$ ∴これは成立している

（ⅱ）$n=k$のとき与式が成立すると仮定して

$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2$

両辺に$n=k+1$とした$(2k+1)$を加えると

$1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2$

∴よって$n=k+1$のときでも成立する

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数で与式は成立する

(2)

（ⅰ）$n=1$のとき $2=3^1-1=2$ ∴これは成立している

（ⅱ）$n=k$のとき与式が成立すると仮定して

$2+2\cdot3+2\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+2\cdot3^{k-1}=3^k-1$

両辺に$n=k+1$ $2\cdot3^k$を加えると

$2+2\cdot3+2\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+2\cdot3^{k-1}+2\cdot3^k=3^k-1+2\cdot3^k=3^k(1+2)-1=3^{k+1}-1$

∴よって$n=k+1$のときでも成立する

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数で与式は成立する

(3)

（ⅰ）$n=2$のとき $1+r=\frac{r^2-1}{r-1}=\frac{(r+1)(r-1)}{r-1}=r+1$ ∴これは成立している

（ⅱ）$n=k$のとき与式が成立すると仮定して

$1+r+r^2+\cdots+r^{k-1}=\frac{r^k-1}{r-1}$

両辺に$n=k+1$とした$r^k$を加えると

$1+r+r^2+\cdots+r^{k-1}+r^k=\frac{r^k-1}{r-1}+r^k=\frac{r^k-1+r^{k+1}-r^k}{r-1}=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}$

∴よって$n=k+1$のときでも成立する

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数で与式は成立する

(4)

（ⅰ）$n=1$のとき $\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ ∴これは成立している

（ⅱ） $n=k$のとき与式が成立すると仮定して

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

両辺に$n=k+1$とした$\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$を加えると

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{1}{k+1}\left(k+\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{k^2+2k+1}{k+2}=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{(k+1)^2}{k+2}=\frac{k+1}{k+2}$

∴よって$n=k+1$のときでも成立する

（ⅰ）（ⅱ）より、すべての自然数で与式は成立する